PCM en TSTL 2 (T2)

Vendredi 23 février

• Devoir surveillé
• Cours :
  • Remarque : On peut prolonger la propriété algébrique $\ln(a^n)=n\ln(a)$ des entiers aux réels :

$$\ln(a^x)=x\ln(a)\text{ pour tout réel }x$$

• II Etude de la fonction $\ln$ :
  • Théorème : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$.
  • Conséquences :
     Si $0 < x < 1$ alors $\ln(x)<\ln(1)$ donc $\ln(x)<0$.
     Si $x > 1$ alors $\ln(x)>\ln(1)$ donc $\ln(x)>0$.

Cours du 23 février

• Exercices 29 à 31 page 199

— Finir les exercices pour le 11/03

Jeudi 22 février

• Cours : Le logarithme népérien
  • I Définition et propriétés algébriques
    • Définition : Soit $y$ un réel strictement positif. La solution de l’équation $e^x=y$ est le réel $\ln(y)$. C’est-à-dire : $e^x=y\iff x=\ln(y)$. La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ qui, à tout réel $y>0$ associe $\ln(y)$.
    • Conséquences :
       $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$
       $\ln(1)=0$
       Pour tout réel $y>0$ : $e^{\ln(y)}=y$
    • Théorème : Pour tout réel $x$ : $\ln(e^x)=x$
    • Théorème : Propriétés algébriques. Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
       $\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)$
       $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)$ et $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
       $\ln(a^n)=n\ln(a)$ pour tout entier $n$
       $\ln(\sqrt{a})=\dfrac12\ln(a)$

Cours du 22 février

• Exercices 54 à 56 page 199

— Finir les exercices et faire l’exercice 58 page 200 pour le 11/03

Lundi 19 février

• Correction et fin de l’exercice

Vendredi 16 février

• Interrogation de cours
• Correction de l’interrogation de cours
• Correction de l’exercice
• Cours :
  • Théorème : Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un même intervalle $I$ telles que $f(x)\geqslant g(x)$ sur $I$ alors l’aire, en u. a. du domaine compris entre :
     $\mathscr{C}_f$ ;
     $\mathscr{C}_g$ ;
     les droites d’équation $x=a$ et $x=b$
    est donnée par : $\displaystyle{\int_a^bf(x)-g(x)~~dx}$.

Cours du 16 février

• Exercice 100 page 259

— Finir la partie B de l’exercice 100 page 259 pour le 19/02

Jeudi 15 février

• Correction de l’exercice
• Exercice 10 page 247
• Exercice : Déterminer la valeur moyenne de la fonction $\cos$ sur l’intervalle $[0;2\pi]$
• Cours :
  • Théorème : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a;b]$ alors :

$$\int_b^a f(x)~~dx=-\int_a^b f(x)~~dx$$

• III Retour sur les calculs d’aires
  • Théorème : Soit $f$ une fonction négative sur $[a;b]$ alors l’aire, en unité d’aire, du domaine du plan compris entre :
     l’axe des abscisses ;
     $\mathscr{C}_f$ ;
     les droites d’équation $x=a$ et $x=b$
    est donnée par : $\displaystyle{\int_a^b-f(x)~~ dx}$.

Cours du 15 février

• Exercice 96 page 258

— Finir l’exercice 96 page 258 pour le 16/02

Lundi 12 février

• Interrogation de cours
• Correction de l’exercice 74 page 253
• Cours :
  • Définition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a;b]$ alors la valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est : $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle{\int_a^b f(x)~~dx}$.

Cours du 12 février

— Faire l’exercice 9 page 247 pour le 15/02

Vendredi 9 février

• Correction de l’exercice
• Exercice 43 page 249
• Exercice 74 page 253

— Finir l’exercice 74 page 253 pour le 12/02

Jeudi 8 février

• Correction de l’exercice
• Cours :
  • Théorème : Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[a;b]$, de primitives respectives $F$ et $G$ et soit $k$ un réel.
     Si $f(x)\geqslant 0$ sur $[a;b]$ et $a < b$ alors $\displaystyle{\int_a^b f(x)~~dx\geqslant 0}$ (positivité de l’intégrale)
     $\displaystyle{\int_a^b f(x)+kg(x)~~dx=\int_a^bf(x)~~dx+k\int_a^bg(x)~~dx}$ (linéarité de l’intégrale)
     Si $f(x)\leqslant g(x)$ sur $[a;b]$ et $a < b$ alors $\displaystyle{\int_a^bf(x)~~dx\leqslant \int_a^bg(x)~~dx}$
  • Théorème (Relation de Chasles) : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a;b]$ alors pour tout réel $c\in[a;b]$ :

$$\int_a^c f(t)~~dt+\int_c^b f(t)~~dt=\int_a^b f(t)~~dt$$

Cours du 8 février

• Exercice 42 page 249

— Finir l’exercice 42 page 249 pour le 9/02

Lundi 5 février

• Fin de la correction de l’exercice 33 page 249
• Activité sur la méthode des rectangles
• Cours :
  • Remarque : Soit $f$ une fonction positive sur un intervalle $[a;b]$. On peut approcher $\displaystyle{\int_a^b f(x)~~dx}$ par la somme de rectangles de même largeur. On définit une subdivision de $[a;b]$ par des intervalles de la forme $[x_n;x_{n+1}]$ de sorte que $x_{n+1}-x_n=\Delta x$, une constante. Ainsi : $\displaystyle{\int_a^bf(x)~~dx\approx \sum_{i=0}^n f(x_i)\times \Delta x}$ et plus la largeur des rectangles ($\Delta x$) sera petite, meilleure sera la précision.
  • II Calcul intégral
    • Définition : On prolonge le théorème précédent à toute fonction définie sur l’intervalle $[a;b]$. Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[a;b]$, et $F$ une de ses primitives. On définit alors :

$$\int_a^b f(x)~~dx=\left[F(x)\right]_a^b =F(b)-F(a)$$

Cours du 5 février

— Faire l’exercice 28 page 249 pour le 8/02

Jeudi 1 février

• Correction de l’exercice 33 page 249

Lundi 29 janvier

• Correction de l’exemple du cours et de l’exercice
• Exercices 32 et 33 page 249

— Finir l’exercice 33 page 249 et faire l’exercice 38 page 249 pour le 1/02

Vendredi 26 janvier

• Correction du DS du 19/01

Jeudi 25 janvier

• Correction des exercices
• Cours :
  • Théorème : Soit $f$ une fonction positive sur un intervalle $[a;b]$. La fonction définie sur $[a;b]$ par $g(x)=\displaystyle{\int_a^x f(t)~~dt}$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.
  • Théorème : Soit $f$ une fonction positive sur un intervalle $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$ alors :

$$\int_a^b f(x)~~dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$$

• Exemple : $\displaystyle{\int_2^4 2x-1~~dx=\left[x^2-x\right]_2^4}=4^2-4-(2^2-2)=10$
• Exemple : Calculer $\displaystyle{\int_{-1}^5 2x^2+4x+5~~dx}$.

Cours du 25 janvier

— Finir l’exemple du cours et faire l’exercice 27 page 249 pour le 26/01

Lundi 22 janvier

• Correction de la fin de l’activité
• Cours : Calcul intégral
  • I Calculs d’aires
    • Définition : Soit $(O;I;J)$ un repère orthogonal. On appelle unité d’aire, noté u. a. le produit $OI\times OJ$.
    • Définition : Soit $f$ une fonction positive sur un intervalle $[a;b]$. L’aire du domaine en u. a. compris entre :
       l’axe des abscisses ;
       $\mathscr{C}_f$ ;
       les droites d’équation $x=a$ et $x=b$
      est le réel $\displaystyle{\int_a^bf(x)~~ dx}$ (se lit : intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)~~dx$).

• Exemple : $\displaystyle{\int_2^4 2x-1~~dx=10}$ et $\displaystyle\int_4^{15}2x-1~~dx=198$ (vu dans l’activité).

Cours du 22 janvier

• Exercice 18 page 248

— Finir l’exercice 18 page 248 et faire l’exercice 19 page 248 pour le 25/01

Vendredi 19 janvier

• Devoir surveillé
• Activité sur les aires sous une courbe

Activité sur les aires sous une courbe

— Finir l’activité pour le 22/01

Lundi 15 janvier

• Correction de l’exercice

Vendredi 12 janvier

• Exercice du bac : Réunion 28 mars 2023
• Exercice du bac : Métropole 20 mars 2023

— Finir l’exercice pour le 15/01

Vendredi 22 décembre

• Correction des exercices
• Exercice du bac : Polynésie 14 mars 2023

Vendredi 15 décembre

• Correction des exercices
• Exercices 62, 63 et 65 page 270
• Cours :
  • Théorème : Soit $a$ et $b$ deux réels avec $a\ne0$. Les solutions de l’équation différentielle $y'=ay+b$ s’écrivent : $y(x)=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$ avec $k$, une constante réelle.

Cours du 15 décembre

• Exercice 91 page 271

— Finir les exercices 63 et 65 page 270, 91 et 92 page 271 pour le 22/12

Vendredi 8 décembre

• Correction du test du 4/12
• Correction de l’exercice 78 page 176
• Activité sur les équations différentielles
• Cours :
  • II Equations différentielles
    • Définition : Une équation différentielle est une égalité dans laquelle intervient une inconnue, une fonction souvent notée $y$ qu’on cherche à déterminer, et ses dérivées successives.
    • Exemple : Montrer que $f(t)=\cos(\omega t+\varphi)$ est solution de l’équation différentielle $y''+\omega^2 y=0$.
    • Théorème : Les solutions de l’équation différentielle $y'=ay$ s’écrivent : $y(x)=ke^{ax}$ avec $k$, une constante réelle.

Cours du 8 décembre

• Exercices 43 et 45 page 270

— Finir l’exercice 45 et faire l’exercice 44 page 270 avec l’exercice 52 page 270 pour le 8/12

Lundi 4 décembre

• Test sur les limites et la dérivations de fonctions avec la fonction exponentielle
• Exercice 90 page 177
• Cours :
  • Remarque : En classe de première, vous avez vu que si $g(x)=f(ax+b)$ alors $g'(x)=af'(ax+b)$.
  • Théorème : Soit $k$ un réel non nul et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=e^{kx}$.
     Si $k>0$ alors la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
     Si $k<0$ alors la fonction $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

Cours du 4 décembre

— Exercice 78 page 176 pour le 8/12

Vendredi 1 décembre

• Correction de l’exercice
• Activité sur les formes indéterminées
• Activité sur les croissances comparées
• Cours :
  • Théorème :
     Pour tout entier $n$ positif : $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty}$
     Pour tout entier $n$ positif : $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0}$
  • Exemple : Calculer $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}e^{-x}+x}$

Cours du 1 décembre